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第1章 复数与复变函数1

1.1复数的概念及运算1

1.1.1复数及其代数运算1

1.1.2复数的几何表示3

1.1.3复数的三角表示与指数表示4

1.1.4复数的几何意义与复球面7

1.1.5复数的乘幂与方根9

1.2复平面上的点集11

1.2.1复平面上点集的基本概念11

1.2.2区域、曲线12

1.3复变函数13

1.3.1复变函数的概念13

1.3.2复变函数的极限14

1.3.3复变函数的连续性16

第2章 解析函数18

2.1解析函数的概念18

2.1.1复变函数的导数与微分18

2.1.2解析函数的概念20

2.2解析函数的充要条件21

2.3初等函数24

2.3.1指数函数24

2.3.2对数函数25

2.3.3乘幂ab与幂函数26

2.3.4三角函数与双曲函数27

2.3.5反三角函数28

第3章 复变函数的积分30

3.1复变函数积分的概念30

3.1.1复变函数积分的定义30

3.1.2复积分的存在条件及计算31

3.1.3复积分的性质32

3.2柯西-古萨基本定理与复合闭路定理33

3.2.1柯西-古萨基本定理33

3.2.2复合闭路定理34

3.3原函数与不定积分35

3.4柯西积分公式38

3.5解析函数的高阶导数40

3.6调和函数及其与解析函数的关系43

第4章 级数47

4.1复数项级数47

4.1.1复数列的极限47

4.1.2复数项级数48

4.1.3复变函数项级数50

4.2幂级数51

4.2.1幂级数的敛散性52

4.2.2幂级数的运算和性质54

4.3泰勒级数56

4.3.1泰勒定理56

4.3.2一些初等函数的泰勒展开式58

4.4洛朗级数60

4.4.1双边幂级数60

4.4.2洛朗展开定理61

4.4.3函数在圆环域内展开成洛朗级数的方法63

第5章 留数及其应用66

5.1孤立奇点66

5.1.1孤立奇点的分类66

5.1.2解析函数极点级别的判断方法68

5.1.3函数在无穷孤立奇点的性质70

5.2留数及其计算72

5.2.1留数与留数定理72

5.2.2留数的具体计算73

5.2.3无穷远点处留数75

5.3留数在定积分计算中的应用77

5.3.1形如∫2π0R[cosθ， sinθ]dθ的计算78

5.3.2形如∫+∞-∞R（x）dx积分的计算79

5.3.3形如∫+∞-∞R（x）eiaxdx（a ＞ 0）积分的计算81

5.3.4其他综合实例82

第6章 共形映射85

6.1共形映射的概念85

6.1.1解析函数的导数的几何意义85

6.1.2共形映射的概念88

6.2分式线性映射89

6.2.1分式线性映射的概念89

6.2.2分式线性映射的性质90

6.3唯一决定分式线性映射的条件92

6.4几个初等函数所构成的映射98

6.4.1幂函数w＝zn98

6.4.2指数函数w ＝ ez99

第7章 傅里叶变换101

7.1傅里叶积分与傅里叶变换101

7.1.1傅里叶级数的复指数形式101

7.1.2非周期函数的傅里叶积分102

7.1.3傅里叶积分存在定理104

7.1.4傅里叶积分的几种形式104

7.1.5傅里叶变换106

7.2单位脉冲函数与频谱函数108

7.2.1单位脉冲函数δ（t）的定义及性质108

7.2.2周期函数的频谱114

7.2.3非周期函数的频谱115

7.3傅里叶变换的性质117

7.4卷积与卷积定理125

7.4.1卷积的定义及性质126

7.4.2卷积定理127

7.4.3相关函数128

7.4.4傅里叶变换综合举例131

第8章 拉普拉斯变换136

8.1拉普拉斯变换的概念136

8.1.1拉普拉斯变换的定义136

8.1.2拉普拉斯变换的存在定理137

8.1.3周期函数的拉普拉斯变换140

8.2拉普拉斯变换的性质143

8.3拉普拉斯逆变换的概念152

8.4卷积与卷积定理155

8.4.1拉普拉斯变换意义下的卷积概念155

8.4.2拉普拉斯变换意义下的卷积定理156

8.5拉普拉斯变换的应用157

习题161

习题答案183

附录195

附录Ⅰ 傅里叶变换简表195

附录Ⅱ拉普拉斯变换简表198

参考文献203