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第一章 中国的古代数学1

1.1第一个高峰——两汉时期2

1.1.1古代的背景2

1.1.2《周髀算经》4

1.1.3《九章算术》6

（一）算术方面7

（二）代数方面8

（三）几何方面10

1.1.4小结12

1.2第二个高峰——魏晋南北朝时期14

1.2.1刘徽的《九章算术注》14

（一）割圆术14

（二）阳马术19

（三）球体积计算22

1.2.2祖冲之父子24

（一）圆周率计算24

（二）刘祖原理与球体积公式25

1.2.3隋唐时期27

（一）《孙子算经》与“物不知数”问题28

（二）《张邱建算经》与百鸡问题29

（三）《缉古算经》与三次方程29

1.2.4小结30

1.3第三个高峰——宋元时期31

1.3.1高次代数方程的数值求解——从“贾宪三角”到“正负开方术”31

（一）贾宪三角与增乘开方法31

（二）秦九韶正负开方术32

1.3.2“大衍求一术”与中国剩余定理35

1.3.3内插法与“垛积术”42

1.3.4“天元术”与“四元术”45

1.3.5小结45

1.4中国古代数学的衰落时期及其探讨46

1.4.1宋元之后的概况46

1.4.2中国古代数学的优缺点及其衰落的原因探讨47

（一）中国古代数学的长处47

（二）中国古代数学的短处48

（三）中国古代数学衰落的原因49

1.4.3西学东渐中的中国数学52

1.4.4中国数学史学科的形成和发展55

参考文献58

第二章 古代希腊的数学61

2.1对空间和时间的说明61

2.2古典时代——论证数学的发端63

2.2.1古典时代前期——泰勒斯与毕达哥拉斯63

（一）毕达哥拉斯及其学派的数学成就概述64

（二）正方形的边和对角线不可公度的证明66

（三）毕达哥拉斯学派对于和音的研究69

2.2.2雅典时期的希腊数学70

（一）三大几何问题73

（二）芝诺悖论与无限性概念的早期探索77

（三）逻辑演绎结构的倡导79

2.3黄金时代——亚历山大学派80

2.3.1欧几里得与《原本》81

（一）内容简介81

（二）《原本》是公理化系统的典范83

（三）欧多克索斯的比例论84

（四）欧多克索斯的穷竭法86

（五）关于素数个数无限性的证明88

（六）《原本》的不足之处89

2.3.2阿基米德的数学成就90

（一）阿基米德的成就概述91

（二）球体积计算公式的发现94

（三）抛物线弓形面积计算公式的发现96

（四）穷竭法证明98

2.3.3阿波罗尼奥斯与《圆锥曲线论》101

2.4亚历山大时代后期的古希腊数学105

（一）托勒密的三角学106

（二）丢番图的《算术》106

（三）帕普斯的绝唱：《数学汇编》106

2.5古希腊数学的总结及其兴衰研究107

2.5.1总结107

2.5.2兴衰研究108

附录 阿基米德平衡法的再讨论109

参考文献111

第三章 科学革命与分析时代113

3.1微积分的史前阶段114

3.2笛卡儿与解析几何115

3.3半个世纪的酝酿117

3.4牛顿与莱布尼茨120

3.4.1微分与积分的统一——微积分基本定理120

3.4.2牛顿的科学成就概述124

3.4.3莱布尼茨的科学成就概述124

3.5科学革命的高潮——万有引力定律的发现125

3.5.1从哥白尼到开普勒126

3.5.2牛顿对开普勒第二定律的分析129

3.5.3从开普勒三定律到万有引力定律132

3.5.4引力定律为什么是万有的？136

3.5.5科学革命的意义140

3.5.6对牛顿的评价141

3.6分析时代的来临145

3.6.1欧拉的贡献146

3.6.2欧拉与哥尼斯堡七桥问题150

3.7第二次数学危机与分析的严格化154

附录 孪生素数猜想与张益唐的突破157

参考文献160

第四章 代数学的革命163

4.1三次和四次方程的根式求解164

4.1.1卡尔达诺的三次方程求解法164

4.1.2与复数的不期而遇166

4.1.3韦达的三次方程求解法168

4.1.4费拉里的四次方程求解法169

4.2拉格朗日对高次代数方程的研究170

4.2.1二次方程170

4.2.2三次方程171

4.2.3四次方程172

4.2.4拉格朗日提出的方案173

4.3伽罗瓦的贡献174

4.3.1历史概述174

4.3.2高斯在根式求解问题上的贡献175

4.3.3根式求解与域的扩张176

4.3.4伽罗瓦群179

4.3.5伽罗瓦的主要结果182

4.3.6伽罗瓦理论的应用185

（一）回顾一般的二次到四次代数方程的根式求解问题185

（二）回顾一般的5次及5次以上的代数方程的根式求解问题185

（三）古典几何中的尺规作图难题185

4.4旺泽尔的贡献188

4.5群是关于对称性的度量190

4.6代数学发展概况191

参考文献193

第五章 公理化方法与哥德尔定理195

5.1公理化方法的起源及其问题196

5.2非欧几何的出现及其影响197

5.3关于数理逻辑的一些知识200

5.4公理系统的相容性和完全性202

5.5集合论和悖论204

5.6希尔伯特的形式主义纲领208

5.6.1形式主义208

5.6.2关于形式系统的简单例子210

5.7哥德尔定理212

5.7.1哥德尔数——形式系统的算术化212

5.7.2元数学语句的映射215

5.7.3哥德尔定理的证明217

（一）第一不完全性定理的证明217

（二）第二不完全性定理的证明219

5.7.4哥德尔定理的意义220

5.8关于数学基础问题的小结221

参考文献222

第六章 圆周率及其计算——数学史中的一个案例224

6.1关于圆周率π的远古史224

6.2古代计算圆周率的阿基米德-刘徽方法225

6.2.1历史概述225

6.2.2误差分析226

6.3 7π的无理性与超越性227

6.3.1历史概述227

6.3.2 7π是无理数的一个简短证明228

6.4圆周率计算的近代史230

6.4.1圆周率与无穷乘积230

6.4.2圆周率与概率论230

6.4.3用无穷级数计算π的近似值232

6.4.4用外推法计算圆周率234

6.4.5电子计算机的使用235

6.5圆周率计算的现代史——关于算术几何平均值方法的介绍236

6.5.1线性算法236

6.5.2二阶算法及例子237

6.5.3算术几何平均值238

6.5.4全椭圆积分239

6.5.5在求单摆周期上的应用240

6.5.6计算圆周率的AGM算法241

6.6圆周率计算的后现代史——计算π的指定位数字的方法243

6.6.1关于圆周率的一个新公式243

6.6.2计算a=bc modn的快速算法244

6.7小结245

附录 圆周率二阶迭代公式的证明246

（一）公式推导246

（二）误差分析248

（三）几个不等式的证明249

（四）其他算法250

参考文献251

第七章 数学进入生物学——经典遗传学中的数学方法253

7.1关于孟德尔的简介253

7.2分离定律255

7.2.1孟德尔的豌豆实验255

7.2.2孟德尔的发现255

7.2.3分离定律与数学模型257

7.2.4 ABO血型的遗传规律259

7.2.5孟德尔的测交试验259

7.3自由组合定律259

7.4连锁与互换定律261

7.4.1与孟德尔定律不符合的实验261

7.4.2摩尔根学派262

7.4.3基因和染色体262

7.4.4连锁与交换定律262

7.4.5用统计方法作基因的连锁图263

7.4.6性染色体与伴性遗传265

7.5哈代-温伯格定律266

7.5.1守恒定律266

7.5.2哈代-温伯格定律的证明267

7.5.3对孟德尔实验的回顾268

7.5.4正面应用哈代-温伯格定律的例子269

7.6小结：孟德尔为什么会成功？270

附录 几个遗传学问题的数学探讨271

（一）对于子二代F2中表型为显性的实验数据的批评271

（二）隐性伴性基因比例的变化规律272

（三）隐性表型不育时的隐性基因比例的变化规律273

参考文献274

人名索引276